$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x\tan x}=\frac{1}{x^2}-\frac{\cos x}{x\sin x}=\frac{\sin x-x\cos x}{x^2\sin x}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x-x\cos x}{x^2\sin x}=\frac00$ belirsizliğini verir, L’Hospital kuralını uygulayalım. Yani payın ve paydanın ayrı ayrı türevlerini alıp tekrar limit alalım.

$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-\cos x +x\sin x}{2x\sin x+x^2\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2\sin x+x\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{2+\cos x\frac{x}{\sin x}}=\frac{1}{2+1.1}=\frac13$

Son adımda ünlü $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=1$ limiti kullanıldı.