Kategori:Teoremler sayfasının kaynağını görüntüle

== Gauss Lucas Teoremi ==
'' Kompleks katsayılı  sabit olmayan  polinomun türevinin tüm  kökleri,  polinomun kökleri kümesinin [[konveks zarfına]] aittir. ''
==İspat==

<math> n\ge 1 </math>,  <math>  a_1,a_2,\cdots,a_n \in \C </math>     ve  <math> a_n\ne 0</math>  olmak üzere ''n'' dereceli  <math>  P</math> polinomu
  
:<math>P(z) = a_0 + a_1 \cdot z + a_2 \cdot z^2+ \cdots +   a_{n-1} \cdot z^{n-1}+ a_n \cdot z^n , </math>
 
olarak ifade edilebilir. <math>  P</math> polinomunun kökleri <math>z_1,z_2, \cdots ,z_n </math> ise
:<math>P(z)= a_n (z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n})</math>

eşitliği tek türlü belirli olarak  yazılabilir. Burada polinomun köklerinin birbirinden farklı olmak zorunda olmayacağına dikkat edilmelidir. 

<math>P(z) \neq 0</math> olacak şekilde <math> z \in \C </math> olsun. Polinomun türevi alınırsa

:<math> \frac{P^\prime(z)}{P(z)}= \sum_{i=1}^n \frac{1}{z-z_i}= \sum_{i=1}^n \frac{\overline{z}-\overline{z_i} } {\vert z-z_i\vert^2}    </math> 

elde edilir. Eğer  <math>P^\prime</math>  polinomunun kökü <math> z</math>  ve <math>P(z) \neq 0</math> ise

:<math>\ \sum_{i=1}^n \frac{\overline{z}-\overline{z_i} } {\vert z-z_i\vert^2}=0  </math>

bulunur. Açıkca 
 
:<math> \left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{\vert z-z_i\vert^2}\right)\overline{z}=
\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{\vert z-z_i\vert^2}\overline{z_i}\right). </math>

gerçeklenir ve her iki tarafın eşleniği alınırsa

:<math> \left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{\vert z-z_i\vert^2}\right)z=
\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{\vert z-z_i\vert^2} z_i \right)  </math> bulunur.  Buradan  

:<math> z=\frac{   \frac{1}{\vert z-z_1\vert^2} z_1+\frac{1}{\vert z-z_2\vert^2} z_2+\cdots+\frac{1}{\vert z-z_n\vert^2 }z_n}
{\frac{1}{\vert z-z_1\vert^2}+\cdots+\frac{1}{\vert z-z_n\vert^2}} </math>
 
eşitliği elde edilir ki bu da   <math>z </math> nin  <math> z_1,z_2, \cdots ,z_n </math> köklerinin konveks kombinasyonu olarak yazıldığını gösterir. Diğer bir ifade ile polinomun türevinin kökü,  polinomun kökleri kümesinin konveks zarfına aittir.  Eğer  <math> P(z)=P^\prime(z)=0 </math> ise <math>z=1\cdot z+0\cdot z_i</math> şeklinde yazılabildiği için polinomun köklerinin konveks kombinasyonu olarak  açıkca belirlendiğinden ispat tamamlanır.

[[Kategori:Teoremler]]