"Grup" sayfasının sürümleri arasındaki fark
turkmathviki sitesinden
(→Genel Grup Örnekleri) |
|||
| (2 kullanıcı tarafından yapılan 15 ara revizyon gösterilmiyor) | |||
| 2. satır: | 2. satır: | ||
<math>G\neq \empty</math> bir küme ve <math>*</math> G'de tanımlı bir [[İkili İşlem]] olsun. | <math>G\neq \empty</math> bir küme ve <math>*</math> G'de tanımlı bir [[İkili İşlem]] olsun. | ||
Eğer G kümesi <math>*</math> ikili işlemi ile aşağıdaki özellikleri gerçekliyorlarsa G'ye <math>*</math> ikili işlemi ile birlikte bir '''grup''' denir ve <math>(G,*)</math> veya <math><G,*></math> ile gösterilir. | Eğer G kümesi <math>*</math> ikili işlemi ile aşağıdaki özellikleri gerçekliyorlarsa G'ye <math>*</math> ikili işlemi ile birlikte bir '''grup''' denir ve <math>(G,*)</math> veya <math><G,*></math> ile gösterilir. | ||
| − | # <math>*</math> ikili | + | # <math>*</math> ikili işlemi kapalılıdır. |
| − | # <math>\forall</math><math>a,b\in G</math> için <math>a*(b*c)=(a*b)*c</math> '''(Asosyatifliklik,birleşme özelliği)''' | + | # <math>\forall</math><math>a,b,c\in G</math> için <math>a*(b*c)=(a*b)*c</math> '''(Asosyatifliklik,birleşme özelliği)''' |
| − | # <math>\exists e\in G</math> | + | # <math>\exists e\in G</math> : <math>\forall a\in G</math> için <math>a*e=a=e*a </math> '''(Etkisiz,birim eleman özelliği)''' |
| − | # <math>\forall a \in G</math> için <math>a*a^{-1}=a^{-1}*a=e</math> olacak biçimde <math>\exists a^{-1} \in G</math> olmalıdır. '''(Ters eleman özelliği)''' | + | # <math>\forall a \in G</math> için <math>a*a^{-1}=a^{-1}*a=e</math> olacak biçimde (a'ya bağlı) <math>\exists a^{-1} \in G</math> olmalıdır. '''(Ters eleman özelliği)''' |
| − | Eğer <math>\forall a,b \in G</math> için <math>a*b=b*a</math> '''(Değişme,komütatiflik özelliği)''' | + | Eğer <math>\forall a,b \in G</math> için <math>a*b=b*a</math> '''(Değişme,komütatiflik özelliği)''' oluyorsa <math><G,*></math> grubuna '''değişmeli grup''' veya '''Abel grubu''' denir. |
| − | G | + | G kümesi üzerinde <math>*</math> ikili işlemi kapalı ve birleşmeli ise <math><G,*></math> ikilisine '''yarı-grup''',etkisiz elemana sahip yarı-gruba da '''monoid''' denir. |
===Genel Grup Örnekleri=== | ===Genel Grup Örnekleri=== | ||
| − | #<math><\mathbb{N},+></math> monoid ''(Toplamsal tersleri yoktur.)'' | + | #<math><\mathbb{N},+></math> değişmeli monoid ''(Toplamsal tersleri yoktur.)'' |
#<math><\mathbb{Z},+></math> Abel grubu. | #<math><\mathbb{Z},+></math> Abel grubu. | ||
| − | #<math><\mathbb{Z},.></math> monoid ''(çarpımsal tersleri yoktur.)'' | + | #<math><\mathbb{Z},.></math> değişmeli monoid ''(çarpımsal tersleri yoktur.)'' |
#<math><\mathbb{Q},+></math> Abel grubu. | #<math><\mathbb{Q},+></math> Abel grubu. | ||
#<math><\mathbb{R},+></math> Abel grubu. | #<math><\mathbb{R},+></math> Abel grubu. | ||
| + | #<math><\mathbb{C},+></math> Abel grubu. | ||
[[Kategori:Tanımlar]] | [[Kategori:Tanımlar]] | ||
23:17, 29 Mart 2014 itibarı ile sayfanın şu anki hâli
Grup
$ G\neq \empty $ bir küme ve $ * $ G'de tanımlı bir İkili İşlem olsun. Eğer G kümesi $ * $ ikili işlemi ile aşağıdaki özellikleri gerçekliyorlarsa G'ye $ * $ ikili işlemi ile birlikte bir grup denir ve $ (G,*) $ veya $ <G,*> $ ile gösterilir.
- $ * $ ikili işlemi kapalılıdır.
- $ \forall $$ a,b,c\in G $ için $ a*(b*c)=(a*b)*c $ (Asosyatifliklik,birleşme özelliği)
- $ \exists e\in G $ : $ \forall a\in G $ için $ a*e=a=e*a $ (Etkisiz,birim eleman özelliği)
- $ \forall a \in G $ için $ a*a^{-1}=a^{-1}*a=e $ olacak biçimde (a'ya bağlı) $ \exists a^{-1} \in G $ olmalıdır. (Ters eleman özelliği)
Eğer $ \forall a,b \in G $ için $ a*b=b*a $ (Değişme,komütatiflik özelliği) oluyorsa $ <G,*> $ grubuna değişmeli grup veya Abel grubu denir. G kümesi üzerinde $ * $ ikili işlemi kapalı ve birleşmeli ise $ <G,*> $ ikilisine yarı-grup,etkisiz elemana sahip yarı-gruba da monoid denir.
Genel Grup Örnekleri
- $ <\mathbb{N},+> $ değişmeli monoid (Toplamsal tersleri yoktur.)
- $ <\mathbb{Z},+> $ Abel grubu.
- $ <\mathbb{Z},.> $ değişmeli monoid (çarpımsal tersleri yoktur.)
- $ <\mathbb{Q},+> $ Abel grubu.
- $ <\mathbb{R},+> $ Abel grubu.
- $ <\mathbb{C},+> $ Abel grubu.
