|
|
| 1. satır: |
1. satır: |
| − | == Gauss Lucas Teoremi ==
| |
| − | '' Kompleks katsayılı sabit olmayan polinomun türevinin tüm kökleri, polinomun kökleri kümesinin [[konveks zarfına]] aittir. ''
| |
| − | ==İspat==
| |
| | | | |
| − | <math> n\ge 1 </math>, <math> a_1,a_2,\cdots,a_n \in \C </math> ve <math> a_n\ne 0</math> olmak üzere ''n'' dereceli <math> P</math> polinomu
| |
| − |
| |
| − | :<math>P(z) = a_0 + a_1 \cdot z + a_2 \cdot z^2+ \cdots + a_{n-1} \cdot z^{n-1}+ a_n \cdot z^n , </math>
| |
| − |
| |
| − | olarak ifade edilebilir. <math> P</math> polinomunun kökleri <math>z_1,z_2, \cdots ,z_n </math> ise
| |
| − | :<math>P(z)= a_n (z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n})</math>
| |
| − |
| |
| − | eşitliği tek türlü belirli olarak yazılabilir. Burada polinomun köklerinin birbirinden farklı olmak zorunda olmayacağına dikkat edilmelidir.
| |
| − |
| |
| − | <math>P(z) \neq 0</math> olacak şekilde <math> z \in \C </math> olsun. Polinomun türevi alınırsa
| |
| − |
| |
| − | :<math> \frac{P^\prime(z)}{P(z)}= \sum_{i=1}^n \frac{1}{z-z_i}= \sum_{i=1}^n \frac{\overline{z}-\overline{z_i} } {\vert z-z_i\vert^2} </math>
| |
| − |
| |
| − | elde edilir. Eğer <math>P^\prime</math> polinomunun kökü <math> z</math> ve <math>P(z) \neq 0</math> ise
| |
| − |
| |
| − | :<math>\ \sum_{i=1}^n \frac{\overline{z}-\overline{z_i} } {\vert z-z_i\vert^2}=0 </math>
| |
| − |
| |
| − | bulunur. Açıkca
| |
| − |
| |
| − | :<math> \left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{\vert z-z_i\vert^2}\right)\overline{z}=
| |
| − | \left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{\vert z-z_i\vert^2}\overline{z_i}\right). </math>
| |
| − |
| |
| − | gerçeklenir ve her iki tarafın eşleniği alınırsa
| |
| − |
| |
| − | :<math> \left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{\vert z-z_i\vert^2}\right)z=
| |
| − | \left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{\vert z-z_i\vert^2} z_i \right) </math> bulunur. Buradan
| |
| − |
| |
| − | :<math> z=\frac{ \frac{1}{\vert z-z_1\vert^2} z_1+\frac{1}{\vert z-z_2\vert^2} z_2+\cdots+\frac{1}{\vert z-z_n\vert^2 }z_n}
| |
| − | {\frac{1}{\vert z-z_1\vert^2}+\cdots+\frac{1}{\vert z-z_n\vert^2}} </math>
| |
| − |
| |
| − | eşitliği elde edilir ki bu da <math>z </math> nin <math> z_1,z_2, \cdots ,z_n </math> köklerinin konveks kombinasyonu olarak yazıldığını gösterir. Diğer bir ifade ile polinomun türevinin kökü, polinomun kökleri kümesinin konveks zarfına aittir. Eğer <math> P(z)=P^\prime(z)=0 </math> ise <math>z=1\cdot z+0\cdot z_i</math> şeklinde yazılabildiği için polinomun köklerinin konveks kombinasyonu olarak açıkca belirlendiğinden ispat tamamlanır.
| |
| − |
| |
| − | [[Kategori:Teoremler]]
| |
