"Topolojik Uzay" sayfasının sürümleri arasındaki fark
turkmathviki sitesinden
(Yeni sayfa: "==Topolojik Uzay== <math>X</math>'in alt kümelerinden oluşan bir <math>\Tau</math> <math>\subseteq</math> <math>P(X)</math> topluluğu aşağıdaki 3 koşulu sağlıyorsa bu toplu...") |
(→Topolojik Uzay) |
||
| 1. satır: | 1. satır: | ||
| − | == | + | == Tanım == |
<math>X</math>'in alt kümelerinden oluşan bir <math>\Tau</math> <math>\subseteq</math> <math>P(X)</math> topluluğu aşağıdaki 3 koşulu sağlıyorsa bu topluluğa '''X üzerinde''' bir topoloji ve bu durumda <math>(X,\Tau)</math> ikilisine bir topolojik uzay denir. | <math>X</math>'in alt kümelerinden oluşan bir <math>\Tau</math> <math>\subseteq</math> <math>P(X)</math> topluluğu aşağıdaki 3 koşulu sağlıyorsa bu topluluğa '''X üzerinde''' bir topoloji ve bu durumda <math>(X,\Tau)</math> ikilisine bir topolojik uzay denir. | ||
#<math>\empty</math> , <math>X \in \Tau</math> | #<math>\empty</math> , <math>X \in \Tau</math> | ||
| 5. satır: | 5. satır: | ||
#<math>\Tau</math>'nun herhangi sayıda elemanın birleşimi yine <math>\Tau</math>'ya aittir.<math>I</math> herhangi bir küme olmak üzere;<math>\forall \alpha \in I</math> için <math>A_\alpha</math> <math>\in \Tau</math> varsa <math>\bigcup</math> <math>A_\alpha \in \Tau</math> | #<math>\Tau</math>'nun herhangi sayıda elemanın birleşimi yine <math>\Tau</math>'ya aittir.<math>I</math> herhangi bir küme olmak üzere;<math>\forall \alpha \in I</math> için <math>A_\alpha</math> <math>\in \Tau</math> varsa <math>\bigcup</math> <math>A_\alpha \in \Tau</math> | ||
| − | + | == Örnekler == | |
| − | + | ===Trivial Topoloji=== | |
<math>\Tau=\{\empty,X\}</math> | <math>\Tau=\{\empty,X\}</math> | ||
#<math>\empty \in \Tau</math> ve <math>X \in \Tau</math> | #<math>\empty \in \Tau</math> ve <math>X \in \Tau</math> | ||
| 12. satır: | 12. satır: | ||
#<math>\empty \cup X=X\in \Tau</math> | #<math>\empty \cup X=X\in \Tau</math> | ||
| − | + | ===Diskrit Topoloji=== | |
<math>\Tau = P(X)</math> ; <math>A \in \Tau \Leftrightarrow A \subseteq X</math> | <math>\Tau = P(X)</math> ; <math>A \in \Tau \Leftrightarrow A \subseteq X</math> | ||
| 19. satır: | 19. satır: | ||
#<math>I</math> herhangi bir küme olmak üzere <math>\forall \alpha \in I</math> için <math>A_\alpha \in \Tau</math> olsun.<math>\Leftrightarrow \forall \alpha \in I</math> için <math>A_\alpha \subseteq X</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\bigcup A_\alpha \subseteq X</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\bigcup A_\alpha \in \Tau</math> | #<math>I</math> herhangi bir küme olmak üzere <math>\forall \alpha \in I</math> için <math>A_\alpha \in \Tau</math> olsun.<math>\Leftrightarrow \forall \alpha \in I</math> için <math>A_\alpha \subseteq X</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\bigcup A_\alpha \subseteq X</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\bigcup A_\alpha \in \Tau</math> | ||
| − | '''Sonuç''': | + | '''Sonuç''': Disktrit Topolojide her alt küme hem açık hem kapalıdır. |
| − | + | ===Bütünleyen-Sonlu Topolojisi=== | |
<math>X</math> sonsuz bir küme olmak üzere; <math>\Tau_{büt-sonlu}</math> <math>= \{ A \subseteq X ; A^c Sonlu \} \cup \{\empty\}</math> | <math>X</math> sonsuz bir küme olmak üzere; <math>\Tau_{büt-sonlu}</math> <math>= \{ A \subseteq X ; A^c Sonlu \} \cup \{\empty\}</math> | ||
#<math>X^c=\empty</math> ve <math>card\empty=0</math> olduğundan <math>X\in \Tau_{büt-sonlu}</math> ve <math>(\empty)^c = X \in \Tau_{büt-sonlu}</math> | #<math>X^c=\empty</math> ve <math>card\empty=0</math> olduğundan <math>X\in \Tau_{büt-sonlu}</math> ve <math>(\empty)^c = X \in \Tau_{büt-sonlu}</math> | ||
20:04, 23 Mart 2014 itibarı ile sayfanın şu anki hâli
Konu başlıkları
Tanım
$ X $'in alt kümelerinden oluşan bir $ \Tau $ $ \subseteq $ $ P(X) $ topluluğu aşağıdaki 3 koşulu sağlıyorsa bu topluluğa X üzerinde bir topoloji ve bu durumda $ (X,\Tau) $ ikilisine bir topolojik uzay denir.
- $ \empty $ , $ X \in \Tau $
- $ \Tau $'nun sonlu sayıda elemanının kesişimi yine $ \Tau $'ya ait olmalı.$ \forall A_1,A_2 \in \Tau $ için $ A_1 \cap A_2 \in \Tau $
- $ \Tau $'nun herhangi sayıda elemanın birleşimi yine $ \Tau $'ya aittir.$ I $ herhangi bir küme olmak üzere;$ \forall \alpha \in I $ için $ A_\alpha $ $ \in \Tau $ varsa $ \bigcup $ $ A_\alpha \in \Tau $
Örnekler
Trivial Topoloji
$ \Tau=\{\empty,X\} $
- $ \empty \in \Tau $ ve $ X \in \Tau $
- $ \empty \cap X = \empty \in \Tau $
- $ \empty \cup X=X\in \Tau $
Diskrit Topoloji
$ \Tau = P(X) $ ; $ A \in \Tau \Leftrightarrow A \subseteq X $
- $ \empty \subseteq X $ ve $ X \subseteq X $ olduğundan $ \empty ,X $ $ \in P(X) $
- $ \forall A,B\in P(X) $ alalım;$ A\subseteq X $ ve $ B\subseteq X $ olduğundan $ A\cap B \in \Tau $
- $ I $ herhangi bir küme olmak üzere $ \forall \alpha \in I $ için $ A_\alpha \in \Tau $ olsun.$ \Leftrightarrow \forall \alpha \in I $ için $ A_\alpha \subseteq X $ $ \Rightarrow $ $ \bigcup A_\alpha \subseteq X $ $ \Rightarrow $ $ \bigcup A_\alpha \in \Tau $
Sonuç: Disktrit Topolojide her alt küme hem açık hem kapalıdır.
Bütünleyen-Sonlu Topolojisi
$ X $ sonsuz bir küme olmak üzere; $ \Tau_{büt-sonlu} $ $ = \{ A \subseteq X ; A^c Sonlu \} \cup \{\empty\} $
- $ X^c=\empty $ ve $ card\empty=0 $ olduğundan $ X\in \Tau_{büt-sonlu} $ ve $ (\empty)^c = X \in \Tau_{büt-sonlu} $
- $ G_1,G_2 \in \Tau_{büt-sonlu} $ olsun.$ (G_1 \cap G_2)^c $ = $ (G_1)^c \cup (G_2)^c $ ve sonlu iki kümenin birleşimi sonlu olduğundan $ G_1 \cup G_2 \in \Tau_{büt-sonlu} $
- $ I $ herhangi bir küme olmak üzere; $ \forall \alpha \in I $ için $ G_\alpha \in \Tau_{büt-sonlu} $ (yani $ (G_\alpha)^c $ sonlu) $ \Rightarrow $ $ \bigcap G_\alpha \in \Tau_{büt-sonlu} $ (yani ; $ (\bigcap G_\alpha )^c = \bigcup (G_\alpha)^c \subseteq (G_\alpha)^c $)
