İç Çarpım Fonksiyonu
$ V $ bir iç çarpım uzayı ve üzerinde $ \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle} $ normu tanımlı olsun. Bu durumda $ \langle \cdot, \cdot\rangle : V \times V \to \mathbb{R} $ şeklinde tanımlanan iç çarpım fonksiyonu süreklidir, yani eğer $ \lim_{n\to\infty}x_n = x $ ve $ \lim_{n\to\infty}y_n = y $ ise $ \lim_{n\to\infty}\langle x_n, y_n \rangle = \langle x, y\rangle $ gerçekleşir.
Şimdi amacımız $ \forall \varepsilon>0 $ için uygun bir $ N\in \mathbb{N} $ doğal sayısı belirlemek, öyle ki $ \forall n>N $ için $ |\langle x_n,y_n \rangle - \langle x,y \rangle| <\varepsilon $ gerçeklendiğini göstermektir.
$ \begin{eqnarray} |\langle x_n,y_n \rangle - \langle x,y \rangle| &=& |\langle x_n,y_n \rangle - \langle x,y_n \rangle +\langle x,y_n \rangle-\langle x,y \rangle| \\ & \leq & |\langle x_n,y_n \rangle - \langle x,y_n \rangle| +|\langle x,y_n \rangle-\langle x,y \rangle| \\ & = & |\langle x_n -x,y_n \rangle | +|\langle x,y_n-y \rangle| \\ & \leq & \|x_n-x\|\|y_n\| + \|x\| \|y_n-y\| \end{eqnarray} $
Son adımda Cauchy-Schwarz eşitsizliği kullanıldı.
$ \lim_{n\to\infty}y_n = y $ olduğu için limit tanımı gereği $ \forall \varepsilon>0 $ için $ \exists K\in \mathbb{N} $ öyle ki $ \forall n>K $ için $ \|y_n-y\|<\min\{1, \frac{\varepsilon}{2\|x\|}\} $ gerçeklenir. Burada $ \forall n>K $ için $ \|y_n-y\|<1 $ ve $ |\|y_n\|-\|y\||\leq\|y_n-y\|<1 $ nedeniyle $ \|y_n\|<\|y\|+1 $ geçerli olur.
Benzer biçimde $ \lim_{n\to\infty}x_n = x $ olduğu için limit tanımı gereği $ \forall \varepsilon>0 $ için $ \exists M\in \mathbb{N} $ öyle ki $ \forall n>M $ için $ \|x_n-x\|<\frac{\varepsilon}{2(\|y\|+1)} $ gerçeklenir.
Böylece $ \forall \varepsilon>0 $ için $ N=\max\{K,M\}\in\mathbb{N} $ seçilir ve yukarıda elde edilen eşitsizlikler kullanılır ise $ \forall n> N $ için
$ \begin{eqnarray} |\langle x_n,y_n \rangle - \langle x,y \rangle| & \leq & \|x_n-x\|\|y_n\| + \|x\| \|y_n-y\|\\ & < & \|x_n-x\|(\|y\|+1) + \|x\| \|y_n-y\|\\ & < & \frac{\varepsilon}{2(\|y\|+1)}(\|y\|+1) + \|x\|\min\{1, \frac{\varepsilon}{2\|x\|}\}\\ & < & \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon \end{eqnarray} $
istenen sonucu elde edilir.
