Kategori:Teoremler

Gauss Lucas Teoremi

Kompleks katsayılı sabit olmayan polinomun türevinin tüm kökleri, polinomun kökleri kümesinin konveks zarfına aittir.

İspat

$ n\ge 1 $, $ a_1,a_2,\cdots,a_n \in \C $ ve $ a_n\ne 0 $ olmak üzere n dereceli $ P $ polinomu

$ P(z) = a_0 + a_1 \cdot z + a_2 \cdot z^2+ \cdots + a_{n-1} \cdot z^{n-1}+ a_n \cdot z^n , $

olarak ifade edilebilir. $ P $ polinomunun kökleri $ z_1,z_2, \cdots ,z_n $ ise

$ P(z)= a_n (z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n}) $

eşitliği tek türlü belirli olarak yazılabilir. Burada polinomun köklerinin birbirinden farklı olmak zorunda olmayacağına dikkat edilmelidir.

$ P(z) \neq 0 $ olacak şekilde $ z \in \C $ olsun. Polinomun türevi alınırsa

$ \frac{P^\prime(z)}{P(z)}= \sum_{i=1}^n \frac{1}{z-z_i}= \sum_{i=1}^n \frac{\overline{z}-\overline{z_i} } {\vert z-z_i\vert^2} $

elde edilir. Eğer $ P^\prime $ polinomunun kökü $ z $ ve $ P(z) \neq 0 $ ise

$ \ \sum_{i=1}^n \frac{\overline{z}-\overline{z_i} } {\vert z-z_i\vert^2}=0 $

bulunur. Açıkca

$ \left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{\vert z-z_i\vert^2}\right)\overline{z}= \left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{\vert z-z_i\vert^2}\overline{z_i}\right). $

gerçeklenir ve her iki tarafın eşleniği alınırsa

$ \left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{\vert z-z_i\vert^2}\right)z= \left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{\vert z-z_i\vert^2} z_i \right) $ bulunur. Buradan

$ z=\frac{ \frac{1}{\vert z-z_1\vert^2} z_1+\frac{1}{\vert z-z_2\vert^2} z_2+\cdots+\frac{1}{\vert z-z_n\vert^2 }z_n} {\frac{1}{\vert z-z_1\vert^2}+\cdots+\frac{1}{\vert z-z_n\vert^2}} $

eşitliği elde edilir ki bu da $ z $ nin $ z_1,z_2, \cdots ,z_n $ köklerinin konveks kombinasyonu olarak yazıldığını gösterir. Diğer bir ifade ile polinomun türevinin kökü, polinomun kökleri kümesinin konveks zarfına aittir. Eğer $ P(z)=P^\prime(z)=0 $ ise $ z=1\cdot z+0\cdot z_i $ şeklinde yazılabildiği için polinomun köklerinin konveks kombinasyonu olarak açıkca belirlendiğinden ispat tamamlanır.