Grup

Grup

$ G\neq \empty $ bir küme ve $ * $ G'de tanımlı bir İkili İşlem olsun. Eğer G kümesi $ * $ ikili işlemi ile aşağıdaki özellikleri gerçekliyorlarsa G'ye $ * $ ikili işlemi ile birlikte bir grup denir ve $ (G,*) $ veya $ <G,*> $ ile gösterilir.

1. $ * $ ikili işlemi kapalılıdır.
2. $ \forall $$ a,b,c\in G $ için $ a*(b*c)=(a*b)*c $ (Asosyatifliklik,birleşme özelliği)
3. $ \exists e\in G $ : $ \forall a\in G $ için $ a*e=a=e*a $ (Etkisiz,birim eleman özelliği)
4. $ \forall a \in G $ için $ a*a^{-1}=a^{-1}*a=e $ olacak biçimde (a'ya bağlı) $ \exists a^{-1} \in G $ olmalıdır. (Ters eleman özelliği)

Eğer $ \forall a,b \in G $ için $ a*b=b*a $ (Değişme,komütatiflik özelliği) oluyorsa $ <G,*> $ grubuna değişmeli grup veya Abel grubu denir. G kümesi üzerinde $ * $ ikili işlemi kapalı ve birleşmeli ise $ <G,*> $ ikilisine yarı-grup,etkisiz elemana sahip yarı-gruba da monoid denir.

Genel Grup Örnekleri

1. $ <\mathbb{N},+> $ değişmeli monoid (Toplamsal tersleri yoktur.)
2. $ <\mathbb{Z},+> $ Abel grubu.
3. $ <\mathbb{Z},.> $ değişmeli monoid (çarpımsal tersleri yoktur.)
4. $ <\mathbb{Q},+> $ Abel grubu.
5. $ <\mathbb{R},+> $ Abel grubu.
6. $ <\mathbb{{Q\{0}}},.> $ Abel grubu.
7. $ <\mathbb{R\{0}},.> $ Abel grubu.
8. $ <\mathbb{C},+> $ Abel grubu.
9. $ <\mathbb{C\{0}},.> $ Abel grubu.