Metrik Uzayların Topolojik Analizi

Reel ve kompleks sayı sistemleri iki tip özelliğe sahiptir.Bu tiplerin birincisi toplama,çarpma ve benzerleri ile ilgili olan cebirsel özelliklerdir.Topolojik özellikler olarak adlandırılan ikinci tip,sayılar arasındaki uzaklık kavramı ile ve limit kavramı ile ilgili olan özelliklerdir.

Açık Kümeler

Tanım: $ (X,d) $ bir [metrik uzay] ve $ G $,$ X $'in bir altkümesi olsun.Her $ x \in G $ için $ B_{r_x}(x) $ $ \subseteq $ $ G $ olacak şekilde bir $ r_x > 0 $ varsa ozaman $ G $'ye bir açık küme denir.

Komşuluk

$ (X,d) $bir metrik uzay ve $ A $, $ X $'in bir altkümesi olsun.$ X $'in,$ A $ alt kümesini kapsayan bir açık altkümesine $ A $'nın bir açık komşuluğu'Kalın yazı' denir ve $ A $'nın bir açık komşluğunu kapsayan herhangi bir kümeye $ A $'nın bir komşuluğu denir.

Teorem-1

Bir $ (X,d) $ metrik uzayı içinde her açık yuvar bir açık kümedir.

Teorem-2

Bir $ (X,d) $ metrik uzayı içinde bir $ G $ altkümesi açıktır ancak ve ancak $ G $ açık yuvarların bir birleşimidir.

Teorem-3

$ (X,d) $ bir metrik uzay olsun.

• $ \emptyset $ ve $ X $'in her ikiside açık kümedir.
• Açık kümelerin herhangi bir birleşimi açık kümedir.
• Sonlu sayıdaki açık kümelerin herhangi bir kesişimi açık kümedir.

Örnekler

(1)

Doğal metrik(alışılmış metrik) ile $ \mathbb{R} $'yi gözönüne alalım.

• Açık bir $ (a,b) $ aralığı bir açık kümedir
• Açık aralıkların bir birleşimi bir açık kümedir.
• Açık olmayan bir $ (a,b] $ aralığı bir açık küme değildir.

(2)

Boşkümeden farklı herhangi bir $ X $ kümesini ve bu küme üzerinde tanımlı ayrık metriği(disktrit metrik) gözönüne alalım.

• Bir tek elemanlı her küme bir açık kümedir.
• Bütün altkümeler açık kümelerdir.