Ölçülebilir Uzaylar

Cebir

$ X \neq \emptyset $ kümesi verilsin. $ \boldsymbol{\Sigma} \subseteq P(X) $ topluluğu aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa bu topluluğa X üzerinde bir cebir denir.

• $ X \in \boldsymbol{\Sigma} $
• Bütünleyene göre kapalılık; $ E \in \boldsymbol{\Sigma} \rightarrow E^c \in \boldsymbol{\Sigma} $
• Sonlu birleşime göre kapalılık; $ E_1 , E_2, ... E_n \in \boldsymbol{\Sigma} \rightarrow E_1 \cup E_2 \cup ... \cup E_n \in \boldsymbol{\Sigma} $

$ \sigma - Cebri $

$ \boldsymbol{\Sigma} \subseteq P(X) $ aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa bu topluluğa X üzerinde bir $ \sigma - cebri $ denir.

• $ X \in \boldsymbol{\Sigma} $
• Bütünleyene göre kapalılık; $ A \in \boldsymbol{\Sigma} \rightarrow A^c \in \boldsymbol{\Sigma} $
• Sonlu veya sayılabilir sonsuz kümeler için; $ A_n \in \boldsymbol{\Sigma} \rightarrow \bigcup \in A_n \in \boldsymbol{\Sigma} $

Borel $ \sigma - Cebri $

X'in alt kümelerinden oluşan HER topluluk $ X $ üzerinde bir $ \sigma - cebri $ doğurur.Dolayısıyla $ (X,\tau) $ bir topolojik uzay ise $ (\tau \subseteq P(X)) $ $ \tau $ topolojiside X üzerinde bir $ \sigma - cebri $ doğurur $ (\tau $ yu kapsayan en küçük $ \sigma - cebri) $. $ \sigma (\tau),\sigma - cebri $ne $ X $ üzerinde Borel $ \sigma - cebri $ denir ve $ B_x $ ile gösterilir. Bu \sigma - cebrinin elemanlarına Borel kümeleri denir.

Ölçü Kavramı

$ \boldsymbol{\Sigma} $ , $ X $ üzerinde bir $ \sigma - cebri $ olsun.Bu durumda aşağıdaki koşulları gerçekleyen; $ \mu : \Sigma \rightarrow [0,\infty ] $ fonksiyonuna bir ölçü denir.

• $ \mu (\emptyset) = 0 $
• $ \forall(E_n) \subseteq \Sigma $ AYRIK $ (E_n \cap E_m = \emptyset $ $ \forall m\neq n ) $ dizi için $ \mu (\bigcup E_n)= \sum_{n=0}^\infty \mu(E_n) $