turkmath.org

Her adımın koordinat eksenlerinden biri boyunca bağımsız bir hareketten oluştuğu klasik rastgele yürüyüşler, olasılıkta iyi çalışılmış ve iyice anlaşılmış bir konudur. Yürüyüşleri kendi kendisiyle kesişmeyecek şekilde koşullandırdığımızda, Kendinden Kaçınma Yürüyüşü elde edilir. Kombinatoryal bir bakış açısından, ana problem basittir: Z^d lattice içinde belli bir noktadan başlayan 'n' uzunluğunda kaç tane kendinden kaçınan yol vardır? Bu şeytani derecede zor bir problemdir ve son elli yılda muhteşem bir matematiğe yol açmıştır. Bu kısa kursun ilk bölümünde, problemi özetleyeceğim, bu problemi incelemek için kullanılan bazı temel teknikleri (kombinatorik, sembolik hesaplama, olasılık ve istatistiksel fizik teknikler) açıklayacağım ve güncel durumu anlatacağım. İkinci kısım, 1981'de Gregory Lawler tarafından tanıtılan Loop Erased Random walk (LERW) adlı farklı bir modelden oluşacaktır. Modelin açıklaması basittir: Rastgele bir yürüyüş yapın ve oluştuğunda her bir döngüyü silin. Mucizevi bir şekilde, bu SAW'dan çok daha incelenebilir bir modeldir ve ortaya çıkan soruların çoğuna cevap verecek teknikler var. Ayrıca, LERW ile graflarda yayılan ağaçlar (Spanning trees) arasında, Teorik Bilgisayar Biliminde bir dizi uygulamaya yol açan yakın bir bağlantı vardır. Bu bağlantıları, özellikle graflerde yayılan ağaçlar oluşturmak için Wilson algoritmasını ve bu modelde ortaya çıkan bazı büyüleyici korelasyon eşitsizliklerini anlatacağım. Ayrık olasılıkta en sevdiğim ve son iki yıldır düşündüğüm iki problemlerle bitireceğim ve bazı sonuçlarımı sunacağım. Dersin çoğunluğunu erişilebilir bir seviyede tutacağım: Doğrusal cebir ve olasılık dersi almış öğrenciler, materyalin çoğunu takip edebileceklerdir.

cakilarasimatematikkoyu@gmail.com