turkmath.org

Topolojik Veri Analizi (TVA), deneylerden elde edilen verilerin topolojik özelliklerinin, geometrisinin (şeklinin) anlaşılmasında kullanılan bir teoridir. TVA ’da kullanılan başarılı tekniklerden birisi kararlı homolojidir. Kararlı homoloji kavramı ilk olarak Patrizio Frossini [1] ve çalışma arkadaşları tarafından, daha sonra Edelsbrunner, Letscher ve Zomorodian tarafından verilmiştir [2]. Kararlı homoloji cebirsel topolojinin bazı yöntemlerini kullanarak karmaşık geometrik yapının iyi anlaşılmasını sağlar. Verilen bir K kompleksinin süzümü, altkomplekslerinin Ø = K0 ⊆ K1 ⊆ K2 ⊆ . . . ⊆ Kn = K şeklinde iç içe geçmiş bir dizisidir. Bir kompleksin süzümü, üzerinde tanımlı olan, mükemmel ayrık Morse fonksiyonu olarak adlandırılan ve kombinatoryal amaçlar için daha verimli olan özel bir fonksiyonla elde edilebilir [3,4]. Bir K kompleksinin kararlı homoloji grubu, alt komplekslerin homoloji grupları arasında var olan homomorfizmaların görüntü kümesidir öyle ki bu homomorfizmalar içerme fonksiyonları tarafından verilir. TVA’ da kullanılan diğer bir yöntem ayrık Morse teorisidir. Bu teori, K kompleksinin süzümünde bulunan hücre sayılarını azaltarak, kararlı homoloji gruplarının daha hızlı ve verimli bir şekilde hesaplanmasını sağlar. Biz bu konuşmada, öncelikle kararlı homoloji ve ayrık Morse teorisinin temellerinden bahsedeceğiz. Karmaşık verilerin topolojik özelliklerini, onun daha küçük parçalarını kullanarak elde etmek amacıyla kararlı homoloji için Mayer-Vietoris dizisini inceleyeceğiz [7]. Ayrıca, 2 ve 3 boyutlu manifoldlar üzerinde mükemmel ayrık Morse fonksiyonlarının varlığının, bileşenler üzerinde mükemmel ayrık Morse fonksiyonları verdiğini göstererek, verinin topolojik özelliklerinin, onun daha küçük parçalarının topolojik özelliklerinden elde edilebileceğini göstereceğiz[5,6].