Türkiye'deki Matematiksel Etkinlikler
21 Kasım 2018, 14:00 ![]() İstanbul Matematiksel Bilimler Merkezi SeminerleriCongruences for sporadic sequences and modular forms for non-congruence subgroups Matija Kazalicki
In 1979, in the course of the proof of the irrationality of $\zeta ( 2 )$ Robert Apery introduced
numbers $b _ { n } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { n + k } \\ { k } \end{array} \right)$ that are, surprisingly, integral solutions of recursive relations
$( n + 1 ) ^ { 2 } u _ { n + 1 } - \left( 11 n ^ { 2 } + 11 n + 3 \right) u _ { n } - n ^ { 2 } u _ { n - 1 } = 0$
Zagier performed a computer search on first 100 million triples $(A, B, C) \in Z^3$ and found that the recursive relation generalizing $b_n$ \[( n + 1 ) u _ { n + 1 } - \left( A n ^ { 2 } + A n + B \right) u _ { n } + C n ^ { 2 } u _ { n - 1 } = 0\]
with the initial conditions $u_1 = 0$ and $u_0 = 1$ has (non-degenerate i.e. $C(A^2 − 4C) 6=0)$ integral solution for only six more triples (whose solutions are so called sporadic sequences). Stienstra and Beukers showed that the for prime $p \geq 5$ \[b _ { ( p - 1 ) / 2 } \equiv \left\{ \begin{array} { l l } { 4 a ^ { 2 } - 2 p } & { ( \bmod p ) \text { if } p = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } , \text { a odd } } \\ { 0 } & { ( \bmod p ) \text { if } p \equiv 3 \quad ( \bmod 4 ) } \end{array} \right.\] Recently, Osburn and Straub proved similar congruences for all but one of the six
Zagier’s sporadic sequences (three cases were already known to be true by the work of
Stienstra and Beukers) and conjectured the congruence for the sixth sequence (which
is a solution of recursion determined by triple (17, 6, 72). In this talk we prove that remaining congruence by studying Atkin and Swinnerton-Dyer congruences between Fourier coefficients of certain cusp form for non-congurenc subgroup.
Cebir İngilizce IMBM, Seminar Room, Boğaziçi University South Campus admin 20.03.2020 |
Akademik biriminizin ya da çalışma grubunuzun ülkemizde gerçekleşen etkinliklerini, ilan etmek istediğiniz burs, ödül, akademik iş imkanlarını veya konuk ettiğiniz matematikçileri basit bir veri girişi ile kolayca turkmath.org sitesinde ücretsiz duyurabilirsiniz. Sisteme giriş yapmak için gerekli bilgileri almak ya da görüş ve önerilerinizi bildirmek için iletişime geçmekten çekinmeyiniz. Katkı verenler listesi için tıklayınız.
Özkan Değer ozkandeger@gmail.com
31. Journees Arithmetiques Konferansı Organizasyon Komitesi
Web sitesinin masraflarının karşılanması ve hizmetine devam edebilmesi için siz de bağış yapmak, sponsor olmak veya reklam vermek için lütfen iletişime geçiniz.