turkmath.org

Kompakt metrik uzaylar ve tam metrik uzaylar matematikte önemli yere sahiptir. Tam metrik uzaylar ile mantık, sabit nokta teorisi, bilgisayar bilimi, kuantum mekaniği gibi özellikle matematiğin fonksiyonel analiz ve diğer bilimlerin birçok dalında karşılaşılır. Fonksiyonel analizde çeşitli uygulamaları olan birçok temel sonucun ispatlanmasında tam metrik uzaylar önemli rol oynar. Banach sabit nokta teoremi tam metrik uzaylar teorisi için kullanışlı bir özelliktir. Lineer eşitsizlikler, optimizasyon ve yaklaşım teorisi gibi alanlarda çok fazla uygulaması olması nedeni ile sabit nokta teorisindeki ilerleme oldukça ilgi çekmiş ve bu alanda birçok çalışma yapılmıştır. Kompaktlık kavramı da metrik uzaylar teorisinde etkili role sahiptir. Kompakt metrik uzay üzerinde tanımlı sürekli her fonksiyon düzgün süreklidir. Fakat bir metrik uzay üzerinde tanımlı sürekli bir fonksiyonun düzgün sürekli olması için kompaktlık gerekli değildir. Üzerinde tanımlı sürekli her fonksiyonun düzgün sürekli olduğu metrik uzayları karakterize etmek için ilk çalışma Nagata [1] tarafından yapılmıştır. Daha sonra Monteiro ve Peixoto [2] bu tür uzayların dört yeni karakterizasyonunu vermişlerdir. 1958 yılında Atsuji [3] tarafından bu uzayların birçok yeni karakterizasyonu verilmiştir. Bu amaçla Bourbaki-sınırlılık kavramı ortaya çıkmıştır. Tamlıktan daha kuvvetli kompaktlıktan daha zayıf özellikleri sağlayan metrik uzaylar birçok matematikçi tarafından araştırılmaktadır ve yıllardır birçok makalenin araştırma konusu olmuştur. Bu tür uzayların taşıdığı önem nedeniyle birçok yazar bu uzayların çeşitli karakterizasyonları üzerine çalışmıştır. Bu uzaylara örnek olarak Atsuji uzayları verilir. Bunun dışında cofinal-tam [4], sınırlı kompakt, düzgün yerel kompakt, kuvvetli cofinal tam [5] metrik uzaylar da kompakt ve tam uzaylar arasında yer alan önemli uzay örnekleridir. Bu uzayların hepsi konveks analiz, optimizasyon teorisi ve hiperyüzeyler üzerindeki yakınsama yapıları ortamındaki problemler ile bağlantılıdır. Metrik uzaylar için bir özelliğin tamlıktan daha kuvvetli olmasını sağlamanın bir yolu uzaydaki Cauchy dizileri sınıfından daha genel bir sınıfa ait olan tüm dizilerin yakınsak alt dizilerinin bulunmasını sağlamaktır. Bu amaçla Garrido ve Merono [3] metrik uzaylarda Bourbaki Cauchy ve cofinal Bourbaki Cauchy dizisi tanımlarını vererek bu diziler yardımıyla farklı iki tamlık kavramı sunmuşlardır. Tamamen sınırlı kümelerin Cauchy dizileri yardımıyla karakterize edildiği gibi Garrido ve Merono [3] Bourbaki Cauchy ve cofinal Bourbaki Cauchy dizileri yardımıyla Bourbaki sınırlılığı karakterize etmişlerdir. Bu yeni diziler de aslında bir metrik uzayda Bourbaki sınırlı kümeler düşünüldüğünde ortaya çıkmıştır. Bu seminerde metrik uzayda ve asimetrik metrik uzayda tüm bu kavramlar tanıtılarak Bourbaki-tamlık kavramının kompaktlık ve tamlık arasında yer alan bir özellik olduğu gösterilecektir. Örnekler üzerinde tüm bu kavramlar arasındaki ilişkiler incelenecektir. Anahtar Kelimeler : Kompaktlık, Tamlık, Bourbaki-sınırlılık, Bourbaki-tamlık