turkmath.org

$G$ sonsuz bir grup  ve  $\Gamma_r$ kümesi $G$'nin bütün $r$-üreteçli altgruplarının kümesi olsun. $\Gamma_r$'deki herhangi bir $F$ altgrubu için $C_G(F)$'in sonlu üreteçli olduğu en küçük $r$ sayısına G grubunun merkezleyen derinliği diyoruz. Eğer $G$'nin her sonlu üreteçli $Q$ altgrubu için $C_G(Q)$  sonsuz üreteçli ise, $G$'nin merkezleyen derinliği sonsuz diyoruz.

Önerme 1. $G$ sonsuz, yerel sonlu, lineer basit bir grup olsun. $C_G(F) = 1$ olan 2-üreteçli bir $F$ altgrubu vardır. Dolayısıyla $G$'nin merkezleyen derinliği 2'dir.

Önerme 1'in karşı yönü Problem 2'de sorulmuştur:

Problem 2. Merkezleyen derinliği 2 olan her basit yerel sonlu grup lineer midir?

Problem 2'ye verilecek pozitif bir yanıt yerel sonlu basit gruplar için lineerliğin iyi bir tarifini verir. Bu konuşmada bu açık sorudan bahsedeceğiz. Ayrıca mertebesi pq olan her $F$ Frobenius grubu için onu içeren ve $C_G(F)$ bölünebilir değişmeli olan bir $G$ yerel sonlu basit grubu olduğunu kanıtlayacağız.