turkmath.org

Polinom denklemlerine rasyonel ya da tam sayi cozumleri bulmak belki de matematiğin en eski problemlerinden biridir. Bu soru günümüzde de hala aktif ve siklikla uzerine calisilan bir konu. Bize böyle bir denklem verildiğinde belki de sorulacak en dogal soru, rasyonel çözümlerin sonlu olup olmadığıdır. İki ya da  daha fazla değişkenli bir polinom tarafindan tarif edilen her denklem bir cebirsel eğri ifade eder ve bu eğrinin cinsi (genus) bize bu sonluluk sorusunun cevabini verir. Faltings'in unlu teoremine göre cinsi (genus) ikiden buyuk olan eğriler üzerinde sonlu sayıda rasyonel nokta vardir.

Peki biz rasyonel cozumlere bakmak yerine cozum kumesini biraz genisletir ve karekök almaya ya da küpkök almaya izin verirsek ne olur? Örneğin d pozitif bir sayi olsun ve cozum kumesi oyle cebirsel sayilar olsun ki bu sayilar d dereceli herhangi bir polinomun kökü olarak yazılabilsin. Bu şekilde verilen çözümlere d dereceli çözümler diyelim. Bu konuşmada bir cebirsel eğrinin üzerinde ne zaman sonsuz sayida d dereceli nokta vardir sorusuna cevap arayacagiz. Özel olarak modüler eğriler üzerinde duracağız.