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Given a polynomial with rational coefficients, one may investigate thepossible values that may be attained by these polynomials over the set of rational numbers. For centuries, number theorists have been giving due attention to square rational values assumed by rational polynomials.It turns out that seeking an answer to this question connects number theory and geometry. Answering this question for a polynomial in one variable will lead us to study the arithmetic of certain algebraic curves. We will spend some time explaining the geometry beneath the question when the degree of the polynomial is at least 3. For polynomials in more  than one variable, the geometric structure is remote. In the latter case, we will present some of the old and recent developments in the theory shedding some light on some classical Diophantine questions.