turkmath.org

Sonlu bir G grubu üzerinde otomorfizmalarla etki etmekte olan bir A grubunun sabit bıraktığı noktalar kümesi CG(A)={ gÎG | her aÎA için ga=g }, G nin bir alt grubudur. CG(A) nın yapısı veya G içindeki yerleşimi hakkındaki bilgi; G grubunun yapısı için çok kısıtlayıcı ve dolayısıyla açıklayıcı olabilmektedir. Bu tarz çalışmalar 1900’lü yılların başında Frobenius tarafından başlatılmış olup, günümüzde de aktif bir araştırma sahasıdır. Bu kapsamda; A nın bir Frobenius grubu olması durumunu ele alan bir çok çalışma da literatürde yer almaktadır. Sonlu bir A grubunun, bir normal öz F altgrubu içermesi, F nin A içinde bir öz tümleyeni H olması, ve birim elemandan farklı her h ϵ H için CF(h)=1 şartının sağlanması durumunda, A ya Frobenius grup denir. Bu konuşmanın esasını, Ercan ve Güloğlu tarafından tanımlanmış olan “Frobenius-benzeri” grup kavramı ve otomorfizma grubu olarak etkileri oluşturacaktır. Sonlu bir A grubunun, bir normal öz F nilpotent altgrubu içermesi, F nin A içinde bir öz tümleyeni H olması, ve birim elemandan farklı her h ϵ H için [F,h]=F şartının sağlanması durumunda, A ya Frobenius-benzeri grup denir. Bu tanıma göre her Frobenius grubunun bir Frobenius-benzeri grup olduğu açıktır. Bu tür gruplar sık karşılaşılan gruplardır, şöyle ki; asal q mertebeli bir h elemanı, q’dan farklı bir p asal sayısı için, bir P p-altgrubunu normaller fakat merkezlemezse, [P,h] yarıdirekt çarpımı bir Frobenius-benzeri gruptur. Dolayısıyla Frobenius-benzeri grupların etki ve yapılarının iyi bilinmesinin, sonlu gruplar kuramındaki bazı problemlerin çözümüne önemli katkı sağlayacağı açıktır. Ercan, Güloğlu ve Khukhro tarafından elde edilen çok yeni sonuçlar, bu tarz çalışmaların örneği olarak sunulacaktır.