Lie grubu

Matematikte, bir Lie grubu (telaffuz / liː / "Lee"), grup işlemlerinin düzgün olması özelliği ile aynı zamanda diferansiyellenebilir bir manifold olan bir gruptur. Lie grupları, adını, sürekli dönüşüm grupları teorisinin temellerini atan Norveçli matematikçi Sophus Lie' den almıştır. Kabaca, bir Lie grubu sürekli bir gruptur, yani elemanları bir çok gerçek parametre ile tanımlanır. Dolayısıyla Lie grupları, üç boyutlu dönme simetrisi gibi sürekli simetri kavramı için doğal bir model sunar. Lie grupları, modern matematiğin ve fiziğin birçok bölümünde yaygın olarak kullanılmaktadır. Lie'nin Lie gruplarını tanıtmak için orijinal motivasyonu, diferansiyel denklemlerin sürekli simetrilerini modellemekti; aynı şekilde, sonlu gruplar cebirsel denklemlerin ayrık simetrilerini modellemek için Galois teorisinde kullanıldı.

Genel Bakış

Lie grupları düzgün bir şekilde diferansiyellenebilen manifoldlardır ve bu nedenle daha genel topolojik grupların aksine, diferansiyel hesap kullanılarak incelenebilir. Lie grupları teorisindeki ana fikirlerden biri, Lie'nin "sonsuz grup" olarak adlandırdığı ve o zamandan beri Lie cebiri olarak bilinen grubu yerel veya doğrusal versiyonuyla küresel nesne ile değiştirmektir. Lie grupları, çeşitli seviyelerdeki modern geometride büyük bir rol oynamaktadır. Felix Klein, Erlangen programında, belirli geometrik özellikleri değişmeyen bırakan uygun bir dönüşüm grubu belirleyerek çeşitli "geometrileri" göz önünde bulundurabileceğini savundu. Bu nedenle Öklid geometrisi, Öklid uzayının $ R^3 $ mesafesini koruyan dönüşümlerin $ E^3 $ grubunun seçimine karşılık gelir ve konformal geometri, grubun konformal gruba büyütülmesine karşılık gelirken, projektif geometri projektif grup altında özelliklerin değişmemesi ile ilgilenir. Bu fikir daha sonra G-yapı olarak bilinir. Burada G bir manifoldun "yerel" simetrilerinin bir Lie grubudur.