Metrik Uzayların Topolojik Analizi

Reel ve kompleks sayı sistemleri iki tip özelliğe sahiptir.Bu tiplerin birincisi toplama,çarpma ve benzerleri ile ilgili olan cebirsel özelliklerdir.Topolojik özellikler olarak adlandırılan ikinci tip,sayılar arasındaki uzaklık kavramı ile ve limit kavramı ile ilgili olan özelliklerdir.

Açık Kümeler

Tanım: $ (X,d) $ bir metrik uzay ve $ G $,$ X $'in bir altkümesi olsun.Her $ x \in G $ için $ B_{r_x}(x) $ $ \subseteq $ $ G $ olacak şekilde bir $ r_x > 0 $ varsa ozaman $ G $'ye bir açık küme denir.

Komşuluk

$ (X,d) $bir metrik uzay ve $ A $, $ X $'in bir altkümesi olsun.$ X $'in,$ A $ alt kümesini kapsayan bir açık altkümesine $ A $'nın bir açık komşuluğu denir ve $ A $'nın bir açık komşluğunu kapsayan herhangi bir kümeye $ A $'nın bir komşuluğu denir.

Teorem-1

Bir $ (X,d) $ metrik uzayı içinde her açık yuvar bir açık kümedir.

Teorem-2

Bir $ (X,d) $ metrik uzayı içinde bir $ G $ altkümesi açıktır ancak ve ancak $ G $ açık yuvarların bir birleşimidir.

Teorem-3

$ (X,d) $ bir metrik uzay olsun.

• $ \emptyset $ ve $ X $'in her ikiside açık kümedir.
• Açık kümelerin herhangi bir birleşimi açık kümedir.
• Sonlu sayıdaki açık kümelerin herhangi bir kesişimi açık kümedir.

Örnekler

(1)

Doğal metrik(alışılmış metrik) ile $ \mathbb{R} $'yi gözönüne alalım.

• Açık bir $ (a,b) $ aralığı bir açık kümedir
• Açık aralıkların bir birleşimi bir açık kümedir.
• Açık olmayan bir $ (a,b] $ aralığı bir açık küme değildir.

(2)

Boşkümeden farklı herhangi bir $ X $ kümesini ve bu küme üzerinde tanımlı ayrık metriği(disktrit metrik) gözönüne alalım.

• Bir tek elemanlı her küme bir açık kümedir.
• Bütün altkümeler açık kümelerdir.

Bir Kümenin İçi

İç Nokta

$ (X,d) $ bir metrik uzay ve $ A $,$ X $'in bir altkümesi olsun.Bir $ X \in X $ noktası için $ B_{r_x}(x) \subseteq A $ olacak şekilde bir $ r_x > 0 $ varsa $ x $'e $ A $'nın bi iç noktası denir.(Yani; $ x \in X $ noktası için $ A $,$ x $'in bir komşuluğu ise $ x $'e $ A $'nın bir iç noktasıdır denir.Veya "$ A $ altkümesi açıktır ancak ve ancak $ A $'nın her noktası $ A $'nın bir iç noktasıdır veya A açıktır ancak ve ancak A kendi noktalarının herbirinin bir komşuluğudur.)

Kümenin İçi

$ (X,d) $ bir metrik uzay ve $ A $,$ X $'in bir altkümesi olsun.A'nın iç noktalarının tamamamının oluşturduğu kümeye A kümesinin içi denir ve $ A^\circ $ ya da $ içA $ ile yada $ Int(A) $ ile gösterilir.Buna göre; $ A^\circ = \{x\in A; \exists r_x > 0 için B_{r_x}(x) \subseteq A \} $ dir. $ x \in A^\circ $ için $ x \in A $ olduğundan $ A^\circ \ subseteq A $'dır.

Teorem-4

$ (X,d) $ bir metrik uzay ve $ A $,$ X $'in bir altkümesi ise

• (1)$ A^\circ $ açıktır.
• (2)$ A^\circ $ , $ A $ tarafından kapsanan en büyük açık kümedir.(yani A'nın her açık altkümesini içeren bir açık kümedir.)
• (3)$ A $ açıktır ancak ve ancak $ A^\circ = A $ dır.

İspat:

• (1) $ x\in A^\circ $ alalım.Ozaman tanımdan $ B_{r_x}(x)\subseteq A $ olacak şekilde bir $ r_x > 0 $ vardır.Fakat $ B_{r_x}(x) $ bir açık küme olduğundan,her $ y \ in B_{r_x}(x) $ için $ B_{r_y}(y) \subseteq A $ olacak şekilde bir $ r_y >0 $ vardır.Bu nedenle y,$ A $'nın bir iç noktasıdır.Sonuç olarak $ B_{r_x}(x) \subseteq A^\circ $ dır yani $ A^\circ $ açıktır.
• (2) $ G \subseteq A $ olacak şekilde bir $ G $ açık kümesini gözönüne alalım. $ x \subseteq G $ alalım.G açık olduğundan $ B_{r_x}(x)\subseteq G \subseteq A $ olacak şekilde bir $ r_x > 0 $ vardır.Bu nedenle $ x $,$ A $'nın bir iç noktasıdır.O halde $ x \subseteq G $ ise $ x \in A^\circ $ dir x keyfi olduğundan $ G \subseteq A^\circ $ dir.
• (3) $ (:\Rightarrow ) $ $ A $ açık olsun, (2)den $ A^\circ $,A tarafından kapsanan en büyük açık kümedir.Buna göre $ A^\circ = A $

$ (: \Leftarrow ) $ $ A^\circ = A $ olsun. (1)'den $ A^\circ $ açıktır.buna göre $ A $ açıktır.

Teorem-5

$ (X,d) $ bir metrik uzay ve A,B,X in altkümeleri olsun.

• (1) $ A \subseteq B $ $ \Rightarrow $ $ A^\circ \subseteq B^\circ $
• (2)$ (A \cap B)^\circ = A^\circ \cap B^\circ $
• (3) $ A^\circ \cup B^\circ \subseteq (A \cup B)^\circ $